Dualizing Complex

定义 Definition

dualizing complex（对偶化复形）是同调代数与代数几何中的一个重要对象：在给定环或概形上，一个满足特定“有限性/有界性”条件的导出范畴中的复形，用来实现（或表达）类似“Poincaré 对偶/Serre 对偶”的一般化对偶理论（常见于 Grothendieck 对偶理论）。它常用于定义或刻画“规范（canonical）”对偶对象，并与局部上同调、深度、Cohen–Macaulay 性质等密切相关。
（在不同语境下有更精细的定义与附加条件，这里给出最常见的数学含义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈdjuːəlaɪzɪŋ ˈkɒmpleks/

例句 Examples

A dualizing complex helps express duality in a derived category.
对偶化复形有助于在导出范畴中表达对偶性。

For a noetherian scheme, the existence of a dualizing complex is central to Grothendieck duality and controls how derived Hom behaves under proper maps.
对诺特概形而言，对偶化复形的存在是 Grothendieck 对偶理论的核心，并决定了在适当（proper）映射下导出 Hom 的行为方式。

词源 Etymology

dualizing 来自动词 dualize（使对偶化、取对偶），后缀 -ing 表示“用于……的/起……作用的”；complex 在数学中指“复形”（由链复形/上同调复形的对象与微分组成）。合起来就是“用于实现对偶化的复形”，反映其在对偶理论中的功能性命名。

相关词 Related Words

• Derived Category
• Grothendieck Duality
• Serre Duality
• Injective Resolution
• Canonical Module
• Local Cohomology
• Derived Functor
• Verdier Duality

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Robin Hartshorne, Residues and Duality（系统讨论残数与对偶理论，对“dualizing complex”相关概念有经典表述）
• Alexander Grothendieck（及合作者），Séminaire de Géométrie Algébrique（SGA 体系中与对偶理论相关的奠基性材料）
• Winfried Bruns & Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay Rings（交换代数中对偶化复形/对偶化模与 Cohen–Macaulay 理论的联系）
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（从交换代数走向代数几何的视角，常涉及对偶性工具与相关背景）
• Joseph Lipman（讲义与论文，如关于 Grothendieck 对偶的综述/笔记中频繁使用该术语）